Задание 31. Найдите значение выражения:
а) $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}) * 24 : 5 - \frac{9}{22} : \frac{15}{121}$;
б) $\frac{5}{14} + \frac{18}{35} + (1\frac{1}{4} - \frac{5}{14}) : (\frac{5}{12})^2$.
Решение
а) $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}) * 24 : 5 - \frac{9}{22} : \frac{15}{121} = \frac{1 * 3 + 1 * 2 + 1 * 1}{6} * 24 : 5 - \frac{9}{22} * \frac{121}{15} = \frac{6}{6} * 24 : 5 - \frac{3 * 11}{2 * 5} = 24 : 5 - \frac{33}{10} = \frac{24}{5} - \frac{33}{10} = \frac{24 * 2 - 33 * 1}{10} = \frac{48 - 33}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$
б) $\frac{5}{14} + \frac{18}{35} + (1\frac{1}{4} - \frac{5}{14}) : (\frac{5}{12})^2 = \frac{5 * 5 + 18 * 2}{70} + (\frac{5}{4} - \frac{5}{14}) : (\frac{5}{12} * \frac{5}{12}) = \frac{25 + 36}{70} + \frac{5 * 7 - 5 * 2}{28} : \frac{25}{144} = \frac{61}{70} + \frac{25}{28} * \frac{144}{25} = \frac{61}{70} + \frac{1 * 36}{7 * 1} = \frac{61}{70} + \frac{36}{7} = \frac{61 + 36 * 10}{70} = \frac{61 + 360}{70} = \frac{421}{70} = 6\frac{1}{70}$
Задание 32. На заводе трудятся рабочие разной квалификации. Рабочий высшего разряда может выполнить заказ за 12 дней, менее опытный рабочий − за 20 дней. Рабочий самой низкой квалификации выполнит этот заказ за 30 дней. За сколько дней выполнит этот заказ бригада из трех рабочих разной квалификации?
Подсказка. Для составления плана решения посмотрите план, приведенный в упражнении 28.
Ответ 7 гуру
План решения:
1) Какую часть заказа может выполнить рабочий высшего разряда за 1 день?
2) Какую часть заказа может выполнить менее опытный рабочий за 1 день?
3) Какую часть заказа может выполнить рабочий самой низкой квалификации за 1 день?
4) Какую часть заказа могут выполнить рабочие, работая вместе, за 1 день?
5) За сколько дней выполнит этот заказ бригада из трех рабочих разной квалификации?
Решение:
Пусть весь заказ равен 1, тогда:
1) $1 : 12 = \frac{1}{12}$ (заказа) − может выполнить рабочего высшего разряда за 1 день;
2) $1 : 20 = \frac{1}{20}$ (заказа) − может выполнить менее опытный рабочий за 1 день;
3) $1 : 30 = \frac{1}{30}$ (заказа) − может выполнить рабочий самой низкой квалификации за 1 день;
4) $\frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{5 + 3 + 2}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ (заказа) − могут выполнить рабочие, работая вместе, за 1 день;
5) $1 : \frac{1}{6} = 1 * 6 = 6$ (дней) − будет выполнять этот заказ бригада из трех рабочих разной квалификации.
Ответ: за 6 дней.
Задание 33. Отец и сын, работая вместе, покрасили забор за 12 ч. Если бы отец красил забор один, он выполнил бы эту работу за 21 ч. За сколько часов покрасил бы этот забор сын?
Решение
1) $1 : 12 = \frac{1}{12}$ (забора) − покрасят вместе отец и сын за 1 ч;
2) $1 : 21 = \frac{1}{21}$ (забора) − покрасит отец за 1 ч;
3) $\frac{1}{12} - \frac{1}{21} = \frac{7 - 4}{84} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28}$ (забора) − покрасит сын за 1 ч.
4) $1 : \frac{1}{28} = 1 * 28 = 28$ (часов) − время, за которое покрасил бы забор сын.
Ответ: за 28 часов.
Задание 34. Отрезок MN сначала разделили токами A и B на 3 равные части, а затем точками C, D и E на 4 равные части.
а) На сколько частей разделен отрезок? Есть ли среди них равные?
б) Какую часть длины данного отрезка составляет длина каждой получившейся части?
Решение
а) Отрезок разделен на 6 частей, среди которых:
MC = CD = DE = EN;
CA = BE;
MA = AB = BN;
MD = DN.
б) $MC = CD = DE = EN = \frac{1}{4} MN$;
$CA = BE = \frac{1}{12}MN$;
$MA = AB = BN = \frac{1}{3}MN$;
$MD = DN = \frac{1}{2}$ MN.
Задание 35. От веревки, длина которой $\frac{2}{3}$ м, нужно отрезать $\frac{1}{2}$ м. Как это сделать, не производя измерений?
Решение
Вначале нужно сложить веревку пополам, тогда получим веревку длиной:
1) $\frac{2}{3} : 2 = \frac{2}{3} * \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ (м);
Затем веревку опять сложим пополам, получим веревку длиной:
2) $\frac{1}{3} : 2 = \frac{1}{3} * \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ (м);
Это веревка состоит из 4 частей и отрезав от начала одну часть, получим оставшуюся веревку длиной:
3) $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4 - 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (м).
Задание 36. Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок равный 2 клеткам). Отметьте на координатной прямой числа:
$1\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2}, 4, 5\frac{1}{2}$.
Решение
Задание 37. На координатной прямой отмечены точки, соответствующие числам:
$\frac{3}{10}, \frac{4}{5}, \frac{73}{100}, \frac{1}{2}$ (рис.1.4). Определите координату каждой точки.
Решение
$\frac{3}{10} = \frac{3 * 10}{10 * 10} = \frac{30}{100}$;
$\frac{4}{5} = \frac{4 * 20}{5 * 20} = \frac{80}{100}$;
$\frac{1}{2} = \frac{1 * 50}{2 * 50} = \frac{50}{100}$;
$\frac{30}{100} < \frac{50}{100} < \frac{73}{100} < \frac{80}{100}$, тогда:
$A(\frac{3}{10}), B(\frac{1}{2}), C(\frac{73}{100}), D(\frac{4}{5})$.
Задание 38. Сравните дроби:
а) $\frac{3}{14}$ и $\frac{6}{21}$;
б) $\frac{4}{15}$ и $\frac{11}{60}$;
в) $\frac{11}{20}$ и $\frac{8}{15}$;
г) $\frac{5}{9}$ и $\frac{6}{7}$.
Решение
а) $\frac{3}{14} = \frac{3 * 3}{14 * 3} = \frac{9}{42}$;
$\frac{6}{21} = \frac{6 * 2}{21 * 2} = \frac{12}{42}$;
$\frac{9}{42} < \frac{12}{42}$;
$\frac{3}{14} < \frac{6}{21}$.
б) $\frac{4}{15} = \frac{4 * 4}{15 * 4} = \frac{16}{60}$;
$\frac{16}{60} > \frac{11}{60}$;
$\frac{4}{15} > \frac{11}{60}$.
в) $\frac{11}{20} = \frac{11 * 3}{20 * 3} = \frac{33}{60}$;
$\frac{8}{15} = \frac{8 * 4}{15 * 4} = \frac{32}{60}$;
$\frac{33}{60} > \frac{32}{60}$;
$\frac{11}{20} > \frac{8}{15}$.
г) $\frac{5}{9} = \frac{5 * 7}{9 * 7} = \frac{35}{63}$;
$\frac{6}{7} = \frac{6 * 9}{7 * 9} = \frac{54}{63}$;
$\frac{35}{63} < \frac{54}{63}$;
$\frac{5}{9} < \frac{6}{7}$.
Задание 39. Сократите дробь:
а) $\frac{24}{60}$;
б) $\frac{12}{48}$;
в) $\frac{20}{36}$;
г) $\frac{14}{56}$.
Решение
а) $\frac{24}{60} = \frac{24 : 12}{60 : 12} = \frac{2}{5}$
б) $\frac{12}{48} = \frac{12 : 12}{48 : 12} = \frac{1}{4}$
в) $\frac{20}{36} = \frac{20 : 4}{36 : 4} = \frac{5}{9}$
г) $\frac{14}{56} = \frac{14 : 14}{56 : 14} = \frac{1}{4}$
Задание 40. Воспроизведите рисунок 1.5 в тетради. Размеры задайте самостоятельно.
Ответ
