Ответы к теме 6.3 Свойства делимости
Задание 467. Объясните, почему произведение:
а) 25 * 45 делится на 5;
б) 49 * 20 делится на 7 и на 10;
в) 15 * 28 делится на 2, на 3, на 5, на 7.
Ответ
а) 25 * 45 = 5 * 5 * 5 * 9, произведение делится на 5, так как имеет множитель 5.
б) 49 * 20 = 7 * 7 * 2 * 10, произведение делится на 7 и на 10, так как имеет множители 7 и 10.
в) 15 * 28 = 3 * 5 * 7 * 4 = 3 * 5 * 7 * 2 * 2, произведение делится на 2, на 3, на 5, на 7, так как имеет множители 2, 3, 5, 7.
Задание 468. Найдите все простые делители произведения:
а) 6 * 15 * 77;
б) 3 * 25 * 62.
Решение
а) 6 * 15 * 77 = (2 * 3) * (3 * 5) * (7 * 11) = 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 11
Ответ: 2; 3; 5; 7; 11.
б) 3 * 25 * 62 = 3 * (5 * 5) * (2 * 31) = 2 * 3 * 5 * 5 * 31
Ответ: 2; 3; 5; 31.
Задание 469. а) Число 1332 делится на 36. Используя этот факт, назовите еще несколько делителей числа 1332.
б) Известно, то число n делится на 18. Какие еще делители числа n вы можете назвать?
Ответы
а) 4, 9, 6, 3, 2, 18, 12.
б) 2, 3, 6, 9.
Задание 470. Запишите 10 делителей числа a, равного произведению 32 * 24 * 21. Какие из указанных вами делителей являются простыми числами? составными числами? Можете ли вы назвать еще какие−нибудь делители числа a. Сколько всего делителей вам удалось указать?
Решение
a = 32 ∗ 24 ∗ 21 = 4 ∗ 8 ∗ 6 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 7 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 7 = $2^8 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 7 = 2^8 ∗ 3^2 ∗ 7$
Простые числа: 2, 3, 7.
Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, ...
Задание 471. Подберите такие три числа, чтобы при подстановке их вместо буквы n:
а) произведение 13 * n делилось на 5;
б) произведение 7 * n делилось на 8;
в) произведение 6 * n делилось на 10;
г) произведение 10 * n делилось на 25.
Решение
а) (13 * 5) : 5 = 13
(13 * 10) : 5 = 26
(13 * 15) : 5 = 39
б) (7 * 8) : 8 = 7
(7 * 16) : 8 = 14
(7 * 24) : 8 = 21
в) (6 * 10) : 10 = 6
(6 * 20) : 10 = 12
(6 * 30) : 10 = 18
г) (10 * 25) : 25 = 10
(10 * 50) : 25 = 20
(10 * 75) : 25 = 30
Задание 472. Какое из утверждений верно, а какое нет?
1) Если число делится на 2, то оно делится и на 4.
2) Если число делится на 4, то оно делится и на 2.
Решение
1) Неверно, например 6 делится на 2, но не делится на 4.
2) Верно, так как делитель 4 можно представить в виде 2 * 2.
Задание 473. Объясните, почему:
а) сумма 25 + 55 делится на 5;
б) сумма 12 + 36 + 24 + 48 делится на 2, на 3 и на 4.
Решение
а) 25 + 55 = 5 * 5 + 11 * 5, сумма делится на 5, так как оба слагаемых делятся на 5.
б) 12 + 36 + 24 + 48 = 2 * 2 * 3 + 4 * 3 * 3 + 2 * 3 * 4 + 2 * 2 * 3 * 4, сумма делится на 2, на 3 и на 4, так как каждое слагаемое делится на эти числа.
Задание 474. Определите, делится ли сумма:
а) 14 + 21 + 63 + 24 на 7;
б) 18 + 36 + 54 + 90 на 9;
в) 60 + 110 + 202 + 400 на 10.
Решение
а) 14 + 21 + 63 + 24 = 7 * 2 + 7 * 3 + 7 * 9 + 24
Ответ: сумма не делится на 7, так как слагаемое 24 не делится на 7.
б) 18 + 36 + 54 + 90 = 9 * 2 + 9 * 4 + 9 * 6 + 9 * 10
Ответ: сумма делится на 9, так как все слагаемые делятся на 9.
в) 60 + 110 + 202 + 400 = 10 * 6 + 10 * 11 + 202 + 10 * 40
Ответ: сумма не делится на 10, так как слагаемое 202 не делится на 10.
Задание 475. Разность чисел обладает свойствами делимости, аналогичным свойствам суммы:
если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их разность делится на это число;
если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое не делится, то их разность не делится на это число.
Не выполняя действий, определите, делится ли:
а) разность 77 − 49 на 7;
б) разность 98 − 33 на 11;
в) разность 200 − 85 на 10;
г) разность 3500 − 2700 на 100.
Решение
а) разность 77 − 49 делится на 7
б) разность 98 − 33 не делится на 11
в) разность 200 − 85 не делится на 10
г) разность 3500 − 2700 делится на 100
