Ответы к учебнику 2019-2021 года
Упражнения
Вычисления по формулам
Задание 451
а) Вычислите длину окружности, диаметр которой равен 10 см; 2,5 м.
б) Вычислите длину окружности, радиус которой равен 7,5 см; 5 м.
Решение
а) C = πd, где:
C − длина окружности;
d − диаметр.
при d = 10 см:
C = 3,14 * 10 = 31,4 (см);
при d = 2,5 м:
C = 3,14 * 2,5 = 7,85 (м).
Ответ: 31,4 см; 7,85 м.
б) C = 2πr, где:
C − длина окружности;
r − радиус.
при r = 7,5 см:
C = 2 * 3,14 * 7,5 = 3,14 * 15 = 47,1 (см);
при r = 5 м:
C = 2 * 3,14 * 5 = 3,14 * 10 = 31,4 (м).
Ответ: 47,1 см; 31,4 м.
Задание 452
а) Вычислите площадь круга, радиус которого равен 100 м; 20 см.
б) Вычислите объем шара, радиус которого равен 3 см; 1 м.
Решение
а) $S = πr^2$, где:
S − площадь круга,
r − радиус.
при r = 100 м:
$S = 3,14 * 100^2 = 3,14 * 10000 = 31400 (м^2)$;
при r = 20 см:
$S = 3,14 * 20^2 = 3,14 * 400 = 1256 (см^2)$.
Ответ: 31400 $м^2$; 1256 $см^2$.
б) $V = \frac{4}{3}πr^3$, где:
V − объем шара,
r − радиус.
при r = 3 см:
$V = \frac{4}{3} * 3,14 * 3^3 = 4 * 3,14 * 3^2 = 36 * 3,14 = 113,04 (см^3)$;
при r = 1 м:
$V = \frac{4}{3} * 3,14 * 1^3 = \frac{12,56}{3} = \frac{1256}{300} = \frac{314}{75} = 4\frac{14}{75} ≈ 14,19 (м^3)$.
Ответ: 113,04 $м^3$; 14,19 $м^3$.
Задание 453
Чтобы запомнить первые цифры десятичного приближения числа π, существуют забавные поговорки, например: "Это я знаю и помню прекрасно". Запишите подряд цифры, соответствующие числу букв в каждом слове. Что у вас получилось?
Решение
Это − 3 буквы;
я − 1 буква;
знаю − 4 буквы;
и − 1 буква;
помню − 5 букв;
прекрасно − 9 букв.
3,14159 ≈ π
Ответ: получилось число π
Задание 454
В таблице даны диаметры d (в м) различных круглых салфеток. Сколько кружева потребуется для отделки каждой салфетки (рис.7.12)? Для подсчетов используйте формулу C ≈ 3d. Ответы округляйте так, чтобы кружева наверняка хватило.
d, м 0,25 0,6 0,8 1,1 1,5
С, м
Решение
C ≈ 3d
при d = 0,25 м:
C ≈ 3 * 0,25 = 0,75 (м) ≈ 1 (м);
при d = 0,6 м:
C ≈ 3 * 0,6 = 1,8 (м) ≈ 2 (м);
при d = 0,8 м:
C ≈ 3 * 0,8 = 2,4 (м) ≈ 3 (м);
при d = 1,1 м:
C ≈ 3 * 1,1 = 3,3 (м) ≈ 4 (м);
при d = 1,5 м:
C ≈ 3 * 1,5 = 4,5 (м) ≈ 5 (м).
d, м 0,25 0,6 0,8 1,1 1,5
С, м 1 2 3 4 5
Задание 455
Начертите окружности радиусами 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше длины первой? Во сколько раз площадь второго круга больше площади первого?
Решение
C = 2πr, где:
C − длина окружности,
r − радиус.
Тогда:
$C_1 = 2π * 2 = 4π$ (см) − длина первой окружности;
$C_2 = 2π * 4 = 8π$ (см) − длина второй окружности;
$\frac{8π}{4π} = 2$ (раза) − длина второй окружности больше длины первой.
$S = πr^2$, где:
S − площадь круга,
r − радиус.
Тогда:
$S_1 = π * 2^2 = 4π (см^2)$ − площадь первого круга;
$S_2 = π * 4^2 = 16π (см^2)$ − площадь второго круга;
$\frac{16π}{4π} = 4$ (раза) − площадь второго круга больше площади первого.
Ответ: в 2 раза; в 4 раза.
Фигуры, ограниченные окружностями и их дугами
Задание 456
1) Найдите длину дуги окружности, выделенной на рисунке 7.13 жирной линией. Ответ округлите до десятых долей сантиметра.
2) Найдите площадь закрашенной части круга (рис. 7.13). Ответ округлите до десятых долей квадратного сантиметра.
Решение
1) C = 2πr, где:
C − длина окружности,
r − радиус.
а) Жирной линией выделена половина окружности, значит длина дуги равна:
$\frac{2πr}{2} = πr ≈ 3,14 * 4 = 12,56$ (см) ≈ 12,6 (см).
б) Жирной линией выделена четверть окружности, значит длина дуги равна:
$\frac{2πr}{4} = \frac{1}{2}πr ≈ \frac{1}{2} * 3,14 * 1 = 1,57$ (см) ≈ 1,6 (см).
в) Жирной линией выделена треть окружности, значит длина дуги равна:
$\frac{2πr}{3} = \frac{2}{3}πr ≈ \frac{2}{3} * 3,14 * 3 ≈ 3,14 * 2 = 6,28$ (см) ≈ 6,3 (см).
2) $S = πr^2$, где:
S − площадь круга,
r − радиус.
а) Закрашена половина окружности, значит площадь закрашенной части круга равна:
$\frac{πr^2}{2} ≈ 3,14 * 4^2 * \frac{1}{2} = 3,14 * 16 * \frac{1}{2} = 3,14 * 8 = 25,12 (см^2) ≈ 25,1 (см^2)$.
б) Закрашена четверть окружности, значит площадь закрашенной части круга равна:
$\frac{πr^2}{4} ≈ 3,14 * 1^2 * \frac{1}{4} = 3,14 * \frac{1}{4} = 0,785 (см^2) ≈ 0,8 (см^2)$.
в) Закрашена треть окружности, значит площадь закрашенной части круга равна:
$\frac{πr^2}{3} ≈ 3,14 * 3^2 * \frac{1}{3} = 3,14 * 3 = 9,42 (см^2) ≈ 9,4 (см^2)$.
Задание 457
На рисунке 7.14 изображен школьный стадион, вокруг которого проложена беговая дорожка. Найдите длину дорожки и площадь стадиона. (Полученные числовые значения округлите до десятков.)
Решение
Стадион состоит из двух секторов (одинаковых полукругов) и футбольного поля (квадрата). Если сложить два полукруга вместе, то получится круг с диаметром 50 м, тогда:
1) 3,14 * 50 = 157 (м) − длина окружности двух секторов;
2) 2 * 50 = 100 (м) − длина беговой дорожки вдоль футбольного поля;
3) 157 + 100 = 257 ≈ 260 (м) − длина беговой дорожки;
4) 50 : 2 = 25 (м) − радиус круга;
5) $3,14 * 25^2 = 3,14 * 625 = 1962,5 (м^2)$ − общая площадь двух секторов;
6) 50 * 50 = 2500 $(м^2)$ − площадь футбольного поля;
7) 1962,5 + 2500 = 4462,5 $(м^2)$ ≈ 4460 $(м^2)$ − площадь школьного стадиона.
Ответ: 260 м; 4460 $м^2$.
