Ответы к упражнениям
Представление обыкновенных дробей в виде десятичных
Задание 128. Выберите дроби, которые можно представить в виде десятичных:
$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}, \frac{1}{11}, \frac{1}{12}, \frac{1}{13}, \frac{1}{14}, \frac{1}{15}, \frac{1}{16}$.
Решение
$\frac{1}{2} = \frac{50}{100} = 0,5$;
$\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0,25$;
$\frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 0,2$;
$\frac{1}{8} = \frac{125}{1000} = 0,125$;
$\frac{1}{10} = \frac{10}{100} = 0,1$;
$\frac{1}{16} = \frac{625}{10000} = 0,0625$.
Задание 129. Приведите дроби к одному из знаменателей 10, 100 или 1000 и запишите соответствующие десятичные дроби:
а) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{20}, \frac{1}{25}, \frac{1}{50}$;
б) $\frac{3}{4}, \frac{2}{5}, \frac{3}{20}, \frac{2}{25}, \frac{3}{50}, \frac{11}{500}$;
в) $2\frac{1}{2}, 3\frac{1}{4}, 1\frac{7}{20}, 4\frac{4}{25}$;
г) $\frac{3}{2}, \frac{9}{4}, \frac{63}{20}, \frac{51}{25}$.
Решение 7 гуру
а) $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0,5$;
$\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0,25$;
$\frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 0,2$;
$\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 0,05$;
$\frac{1}{25} = \frac{4}{100} = 0,04$;
$\frac{1}{50} = \frac{2}{100} = 0,02$.
б) $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0,75$;
$\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$;
$\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 0,15$;
$\frac{2}{25} = \frac{8}{100} = 0,08$;
$\frac{3}{50} = \frac{6}{100} = 0,06$;
$\frac{11}{500} = \frac{22}{1000} = 0,022$.
в) $2\frac{1}{2} = 2\frac{5}{10} = 2,5$;
$3\frac{1}{4} = 3\frac{25}{100} = 3,25$;
$1\frac{7}{20} = 1\frac{35}{100} = 1,35$;
$4\frac{4}{25} = 4\frac{16}{100} = 4,16$.
г) $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1\frac{5}{10} = 1,5$;
$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2\frac{25}{100} = 2,25$;
$\frac{63}{20} = 3\frac{3}{20} = 3\frac{15}{100} = 3,15$;
$\frac{51}{25} = 2\frac{1}{25} = 2\frac{4}{100} = 2,04$.
Задание 130. Представьте в виде десятичной дроби:
а) $\frac{1}{2^2 * 5}$;
б) $\frac{1}{2 * 5^2}$;
в) $\frac{1}{2^3}$;
г) $\frac{1}{5^3}$;
д) $\frac{1}{2 * 5^3}$;
е) $\frac{1}{5 * 2^4}$;
ж) $\frac{1}{2^5 * 5^3}$;
з) $\frac{1}{5^4 * 2^5}$.
Решение
а) $\frac{1}{2^2 * 5} = \frac{1 * 5}{2^2 * 5 * 5} = \frac{5}{2^2 * 5^2} = \frac{5}{10^2} = \frac{5}{100} = 0,05$
б) $\frac{1}{2 * 5^2} = \frac{1 * 2}{2 * 5^2 * 2} = \frac{2}{2^2 * 5^2} = \frac{2}{10^2} = \frac{2}{100} = 0,02$
в) $\frac{1}{2^3} = \frac{1 * 5 * 5 * 5}{2^3 * 5 * 5 * 5} = \frac{5^3}{2^3 * 5^3} = \frac{125}{10^3} = \frac{125}{1000} = 0,125$
г) $\frac{1}{5^3} = \frac{1 * 2 * 2 * 2}{5^3 * 2 * 2 * 2} = \frac{2^3}{5^3 * 2^3} = \frac{8}{10^3} = \frac{8}{1000} = 0,008$
д) $\frac{1}{2 * 5^3} = \frac{1 * 2 * 2}{2 * 5^3 * 2 * 2} = \frac{2^2}{5^3 * 2^3} = \frac{4}{10^3} = \frac{4}{1000} = 0,004$
е) $\frac{1}{5 * 2^4} = \frac{1 * 5 * 5 * 5}{5 * 2^4 * 5 * 5 * 5} = \frac{5^3}{2^4 * 5^4} = \frac{125}{10^4} = \frac{125}{10000} = 0,0125$
ж) $\frac{1}{2^5 * 5^3} = \frac{1 * 5 * 5}{2^5 * 5^3 * 5 * 5} = \frac{5^2}{2^5 * 5^5} = \frac{25}{10^5} = \frac{25}{100000} = 0,00025$
з) $\frac{1}{5^4 * 2^5} = \frac{1 * 5}{5^4 * 2^5 * 5} = \frac{5}{5^5 * 2^5} = \frac{5}{10^5} = \frac{5}{100000} = 0.00005$
Задание 131. Запишите в виде десятичных дробей:
а) $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}, \frac{19}{8}$;
б) $\frac{1}{200}, \frac{9}{200}, \frac{21}{200}, \frac{201}{200}$;
в) $\frac{1}{125}, \frac{4}{125}, \frac{31}{125}, \frac{129}{125}$.
Образец.
$\frac{7}{200} = \frac{7 * 5}{200 * 5} = \frac{35}{1000} = 0,035$;
$\frac{3}{125} = \frac{3 * 2 * 2 * 2}{5 * 5 * 5 * 2 * 2 * 2} = \frac{24}{1000} = 0,024$.
Решение
а) $\frac{1}{8} = \frac{1 * 5 * 5 * 5}{2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5} = \frac{125}{1000} = 0,125$;
$\frac{3}{8} = \frac{3 * 5 * 5 * 5}{2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5} = \frac{375}{1000} = 0,375$;
$\frac{5}{8} = \frac{5 * 5 * 5 * 5}{2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5} = \frac{625}{1000} = 0,625$;
$\frac{7}{8} = \frac{7 * 5 * 5 * 5}{2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5} = \frac{875}{1000} = 0,875$;
$\frac{19}{8} = 2\frac{3}{8} = 2 + \frac{3 * 5 * 5 * 5}{2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5} = 2\frac{375}{1000} = 2,375$.
б) $\frac{1}{200} = \frac{1 * 5}{200 * 5} = \frac{5}{1000} = 0,005$;
$\frac{9}{200} = \frac{9 * 5}{200 * 5} = \frac{45}{1000} = 0,045$;
$\frac{21}{200} = \frac{21 * 5}{200 * 5} = \frac{105}{1000} = 0,105$;
$\frac{201}{200} = 1\frac{1}{200} = 1 + \frac{1 * 5}{200 * 5} = 1\frac{5}{1000} = 1,005$.
в) $\frac{1}{125} = \frac{1 * 2 * 2 * 2}{5 * 5 * 5 * 2 * 2 * 2} = \frac{8}{1000} = 0,008$;
$\frac{4}{125} = \frac{1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2}{5 * 5 * 5 * 2 * 2 * 2} = \frac{32}{1000} = 0,032$;
$\frac{31}{125} = \frac{31 * 2 * 2 * 2}{5 * 5 * 5 * 2 * 2 * 2} = \frac{248}{1000} = 0,248$;
$\frac{129}{125} = 1\frac{4}{125} = 1 + \frac{2 * 2 * 2 * 2 * 2}{5 * 5 * 5 * 2 * 2 * 2} = 1\frac{32}{1000} = 1,032$.
Задание 132. Докажите, что:
а) дробь $\frac{7}{400}$ можно представить в виде десятичной дроби;
б) дробь $\frac{7}{420}$ нельзя представить в виде десятичной дроби.
Ответы
а) $\frac{7}{400} = \frac{7}{5^2 * 2^4} = \frac{7 * 5^2}{5^2 * 2^4 * 5^2} = \frac{175}{10^4} = \frac{175}{10000} = 0,0175$
б) $\frac{7}{420} = \frac{7}{7 * 2^2 * 3 * 5} = \frac{1}{2^2 * 3 * 5}$ − так как в знаменателе есть простые делители отличные от 2 и 5, дробь несократима, значит данную дробь нельзя представить в виде десятичной.
Задание 133. Определите, можно ли записать данную обыкновенную дробь в виде десятичной (если да, то запишите):
а) $\frac{19}{450}$;
б) $\frac{7}{625}$;
в) $\frac{3}{160}$;
г) $\frac{53}{750}$.
Решение
а) $\frac{19}{450} = \frac{19}{2 * 5^2 * 3^2}$ − записать в виде десятичной нельзя.
б) $\frac{7}{625} = \frac{7 * 2^4}{5^4 * 2^4} = \frac{112}{10000} = 0,0112$
в) $\frac{3}{160} = \frac{3 * 5^4}{2^5 * 5^5} = \frac{1875}{100000} = 0,01875$
г) $\frac{53}{750} = \frac{53}{2 * 5^3 * 3}$ − записать в виде десятичной нельзя.
Задание 134. Представьте дробь в виде десятичной:
а) $\frac{12}{60}$;
б) $\frac{18}{90}$;
в) $\frac{54}{300}$;
г) $\frac{22}{110}$;
д) $\frac{32}{400}$;
е) $\frac{42}{700}$.
Образец.
$\frac{48}{300} = \frac{16}{100} = 0,16$.
Решение
а) $\frac{12}{60} = \frac{2}{10} = 0,2$
б) $\frac{18}{90} = \frac{2}{10} = 0,2$
в) $\frac{54}{300} = \frac{18}{100} = 0,18$
г) $\frac{22}{110} = \frac{2}{10} = 0,2$
д) $\frac{32}{400} = \frac{8}{100} = 0,08$
е) $\frac{42}{700} = \frac{6}{100} = 0,06$
